Test du $\chi^{2}_{}$ de Pearson

Soit R^att_i le rapport R_BX pour une énergie E_i mesuré dans Borexino. Nous cherchons à déterminer les paramètres d'oscillation, ou, du moins, les régions de ces paramètres d'oscillation compatibles avec cette mesure. Nous allons donc comparer les données expérimentales aux données théoriques (en supposant une oscillation de neutrinos) et l'ajustement se fera par le test du $\chi^{2}_{}$ de Pearson définit par :

$$\chi^{2}_{} \sum^{N}_{{i=1}} {\frac{{(R^{vu}_i-R^{att}_i(\sin^22\theta, \Delta m^2))^2}}{{\sigma^{2}_i}}}$$ (7.2)

Le rapport R_i^vu est pris dans une distribution gaussienne de moyenne R_i^att et de variance $\sigma_{{\mathrm{vu}}}^{}$ = $\sqrt{{n_i(T, \sin^22\theta, \Delta m^2)}}$/n_i(T, 0, 0). La variance $\sigma^{{2}}_{i}$ tiens compte de l'ensemble des erreurs systématiques et statistiques pour une énergie E_i et s'écrit : $\sigma^{{2}}_{}$ = $\sqrt{{\sigma^2_{\mathrm{vu},\mathrm{i}}+\sigma^2_{\mathrm{syst}}}}$.

Ainsi si l'hypothèse R^att_i = (R^theo₁,..., R^theo_N) est correcte et que le nombre d'événements par bin est suffisamment grand (en pratique n_i > 5 est satisfaisant) alors on peut dire que le $\chi^{2}_{}$ va suivre une loi de $\chi^{2}_{}$ à N - N_bin dégré de liberté, N_bin est le nombre de bin considérés.

Dans le cas où nous nous intéressons à la norme, c'est à dire à une mesure intégrée du flux R^att, la valeur du $\chi^{2}_{}$ s'écrit :

$$\chi^{2}_{{\mathrm{BX}}} {\frac{{(R^{\mathrm{att}}-R^{\mathrm{theo}}(\sin^22\theta, \Delta m^2))^2}}{{\sigma^{2}}}}$$ (7.3)

C'est donc ici une équation du type f (sin²2$\theta$, $\Delta$m²) = k qu'il faut résoudre. Pour une valeur sin²2$\theta$ ou $\Delta$m² fixé, il n'y a plus qu'un paramètre de libre. Ainsi l'analyse en norme du nombre d'événements se fait par un test de $\chi^{2}_{}$ à un degré de liberté. Remarquons que plus $\chi^{2}_{}$ est petit meilleure est la comparaison. Dans le cas ou la systématique est nulle, la meilleure valeur du $\chi^{2}_{}$ est obtenue lorsque R^att_BX = R^theo_BX±$\sqrt{{R^{\mathrm{theo}}_{\mathrm{BX}}}}$ à 1 $\sigma$ c'est à dire $\chi^{{2}}_{}$ = 1.